Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & - 4 & - 7 - 10 & - 13 & - 16 - 19 & - 22 & - 25 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & - 4 & - 7 \\ - 10 & - 13 & - 16 \\ - 19 & - 22 & - 25 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 13 & - 16 - 22 & - 25 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 13 & - 16 \\ - 22 & - 25 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = - 13 \cdot - 25 - (- 22 \cdot - 16)

$a_{11} = - 13 \cdot - 25 - (- 22 \cdot - 16)$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

- 13

$- 13$ par

- 25

$- 25$ .

a_{11} = 325 - (- 22 \cdot - 16)

$a_{11} = 325 - (- 22 \cdot - 16)$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- (- 22 \cdot - 16)

$- (- 22 \cdot - 16)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.2.1

Multipliez

- 22

$- 22$ par

$- 16$ .

$a_{11} = 325 - 1 \cdot 352$

Étape 2.1.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$352$ .

$a_{11} = 325 - 352$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez

$352$ de

$325$ .

$a_{11} = - 27$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 16 \\ - 19 & - 25 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = - 10 \cdot - 25 - (- 19 \cdot - 16)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

$- 10$ par

$- 25$ .

$a_{12} = 250 - (- 19 \cdot - 16)$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 19 \cdot - 16)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 19$ par

$- 16$ .

$a_{12} = 250 - 1 \cdot 304$

Étape 2.2.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$304$ .

$a_{12} = 250 - 304$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez

$304$ de

$250$ .

$a_{12} = - 54$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 13 \\ - 19 & - 22 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = - 10 \cdot - 22 - (- 19 \cdot - 13)$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

$- 10$ par

$- 22$ .

$a_{13} = 220 - (- 19 \cdot - 13)$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 19 \cdot - 13)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 19$ par

$- 13$ .

$a_{13} = 220 - 1 \cdot 247$

Étape 2.3.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$247$ .

$a_{13} = 220 - 247$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

$247$ de

$220$ .

$a_{13} = - 27$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & - 7 \\ - 22 & - 25 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = - 4 \cdot - 25 - (- 22 \cdot - 7)$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 25$ .

$a_{21} = 100 - (- 22 \cdot - 7)$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 22 \cdot - 7)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 22$ par

$- 7$ .

$a_{21} = 100 - 1 \cdot 154$

Étape 2.4.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$154$ .

$a_{21} = 100 - 154$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

$154$ de

$100$ .

$a_{21} = - 54$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 7 \\ - 19 & - 25 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = - - 25 - (- 19 \cdot - 7)$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 25$ .

$a_{22} = 25 - (- 19 \cdot - 7)$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 19 \cdot - 7)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 19$ par

$- 7$ .

$a_{22} = 25 - 1 \cdot 133$

Étape 2.5.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$133$ .

$a_{22} = 25 - 133$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

$133$ de

$25$ .

$a_{22} = - 108$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 19 & - 22 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = - - 22 - (- 19 \cdot - 4)$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 22$ .

$a_{23} = 22 - (- 19 \cdot - 4)$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 19 \cdot - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 19$ par

$- 4$ .

$a_{23} = 22 - 1 \cdot 76$

Étape 2.6.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$76$ .

$a_{23} = 22 - 76$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez

$76$ de

$22$ .

$a_{23} = - 54$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & - 7 \\ - 13 & - 16 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = - 4 \cdot - 16 - (- 13 \cdot - 7)$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 16$ .

$a_{31} = 64 - (- 13 \cdot - 7)$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 13 \cdot - 7)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 13$ par

$- 7$ .

$a_{31} = 64 - 1 \cdot 91$

Étape 2.7.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$91$ .

$a_{31} = 64 - 91$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez

$91$ de

$64$ .

$a_{31} = - 27$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 7 \\ - 10 & - 16 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = - - 16 - (- 10 \cdot - 7)$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 16$ .

$a_{32} = 16 - (- 10 \cdot - 7)$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 10 \cdot - 7)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 10$ par

$- 7$ .

$a_{32} = 16 - 1 \cdot 70$

Étape 2.8.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$70$ .

$a_{32} = 16 - 70$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

$70$ de

$16$ .

$a_{32} = - 54$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 10 & - 13 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = - - 13 - (- 10 \cdot - 4)$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 13$ .

$a_{33} = 13 - (- 10 \cdot - 4)$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 10 \cdot - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 10$ par

$- 4$ .

$a_{33} = 13 - 1 \cdot 40$

Étape 2.9.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$40$ .

$a_{33} = 13 - 40$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez

$40$ de

$13$ .

$a_{33} = - 27$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 27 & 54 & - 27 \\ 54 & - 108 & 54 \\ - 27 & 54 & - 27 \end{array}]$